阿波罗尼圆

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      阿波罗尼圆,议论两个相关的圆圈宗族。第一个宗族的每一个蓝圆圈与第二个宗族的每一个红圆圈彼此正交。这些圆圈形成了双极坐标系的基。阿波罗尼奥斯圆是闻名的希腊数学家阿波罗尼奥斯 (?πολλ?νιο?) 发现的。平面内到两个定点的间隔之比为常数k(k≠1)的点的轨道是圆,这个圆便是阿波罗尼(Apollonius of Perga, 262BC-190BC)圆。

界说

  平面内到两个定点的间隔之比为常数k(k≠1)的点的轨道是圆,这个圆便是阿波罗尼(Apollonius of Perga, 262BC-190BC)圆。

作者介绍

英文姓名

Apollonius of Perga Back

希腊人(262BC~190BC),写了八册圆锥曲线论(Conics)著,其间有七册撒播下来,书中具体评论了圆锥曲线的各种性质,如切线、共轭直径、极与极轴、点到锥线的最短与最长间隔等,阿波罗尼斯圆是他的论著中一个闻名的问题。他与阿基米德、欧几里德被誉为古希腊三大数学家。

概念解说

 

      阿波罗尼奥斯圆,议论两个相关的圆圈宗族。第一个宗族的每一个蓝圆圈与第二个宗族的每一个红圆圈彼此正交。这些圆圈形成了双极坐标系的基。阿波罗尼奥斯圆是闻名的希腊数学家阿波罗尼奥斯 (?πολλ?νιο?) 发现的。

  阿波罗尼奥斯圆圈能够由线段界说的,符号此线段为 。第一个宗族的任何一个蓝圆圈 Bk 所包含的每一点 Pk,离点 C 与点 D 的间隔呈固定份额 k >0:cpk:dpk=k.

  不一样圆圈的固定份额 必不一样。圆圈与圆圈之间互不同心,互不相交。

  每一个蓝圆圈与每一个红圆圈的直角相交,能够简易地解说如下:关于一个圆心为点 C 的圆圈 Q ,一宗族的蓝阿波罗尼奥斯圆圈的反演,造成了一组同心圆,其圆心在点 D' 。点 D 关于圆圈 Q 的反演是点 D' 。同样地运算将一宗族的红圆圈 反演为一组从点 D' 放射出来的直线。这样,反演将双极座标改换为极座标。在极座标里,每一条径向线与 圆心为原点的圆圈 以直角相交。由于反演是一个共形改换,所以,每一个蓝圆圈与每一个红圆圈以直角相交。

 

阿波罗尼奥斯问题

  阿波罗尼奥斯 问题是由公元前3世纪下半叶古希腊数学 家阿波罗尼奥斯提出的几许作图问题,载于他的《论触摸》中,惜原书已失传。后来公元4 世纪学者帕波斯记载了其间所提出的一个作图问题:设有3个图形,能够是点、直线或圆,求作一圆通过所给的点(假如3个图形中包含点的话)并与所给直线或圆相切。傍边共有10 种或许景象,其间最闻名的是:求作一圆与3个已知圆相切,常称为阿波罗尼奥斯问题( Apollonius'problem)。听说阿波罗尼奥斯本人处理了问题,惋惜效果没有撒播下来。

  1600年法国数学家韦达在一篇论着中 运用了两个圆类似中心的欧几里得解法,通过对每一种特殊情况的评论,严厉陈说了该问题的解。后来牛顿、蒙日、高斯等许多数学家都对这一问题进行过研讨,得到多种处理办法。

 其间以法国数学家热尔岗约于1813年给出的解法较有代表性。以上所说都是一般的标尺 作图法。假如放宽作图条件约束,则有多种简捷的解法。

在复数中的运用

       复数不同于实数 ,它是二元数 ,与复平面内的点一一对应 ,这就决议了其必定具有丰厚的几许内在 .事实上 ,许多复数问题都有着直观的几许布景 ,给解题带来了无限活力 .而这些关于把握好复数的常识非常有利 .本文拟从这一点动身 ,举几个比如 ,以期起到抛砖引玉的效果 .众所周知 ,平面内到两定点的间隔之比为常数λ(λ >0 ,且λ≠ 1 )的点的轨道是圆 ,这个圆便是阿波罗尼 (希腊 ,Apollonius,2 6 0~ 1 90 B .C .)圆 .运用复数常识能够表述如下 :设Z1、Z2 是复平面内的两个定点 ,复数z对应的点Z假如满意|z -z1||z -z2 | =λ(λ >0 ,且λ≠ 1 ) ,①则点Z的调集是阿波罗尼圆 .假如把λ视作分有向线段Z1Z2 的定比的绝对值 ,那么它对应的内分点、外分点便是该圆一条直径的两个端点 .由此 ,不难推知圆①的方程能够表明为z -z1-λ2 z21 -λ2 =λ| 1 -λ2 | ·|z2 -z1| .②许多复数问题都能够化归为方程①的方式 ,运用方程②而顺畅求解.

理论提出者

     阿波罗尼奥斯(Apollonius of Perga) 约公元前262年生于佩尔格;约公元前190年卒,数学家。他的作品《圆锥曲线论》是古代国际光芒的科学效果,它将圆锥曲线的性质收罗殆尽,简直使后人没有插足的地步。

相关定理

       阿波罗尼斯定理

1、设三角形的三边和三中线分别为a、b、c、ma(a为下标,下同)、mb、mc,则有以下联系:

b^2+c^2=a^2/2+2ma^2;

c^2+a^2=b^2/2+2mb^2;

a^2+b^2=c^2/2+2mc^2。

此定理可由斯特瓦尔特定理(Stewart theorem)证明。

2、椭圆两共轭直径的平方和等于长、短轴长的平方和;双曲线两共轭直径的平方差等于长、短轴长的平方差。

阿波罗尼斯问题

   “用圆规和直尺作出与三个已知圆相切的圆”。这便是几许学中有名的作图问题,一般称它为阿波罗尼斯问题(简称AP)。这个问题可用反演办法来处理。现已证明:

1、若三个圆中的每个圆都在其它两个圆之外,则AP有8解;

2、若三个圆相切于一个公共点,则AP有许多解;

3、若一个圆处在另一个圆内部,则AP无解。

AP的特殊情况,即一个闻名问题:作出与两条已知直线(相交或平行)相切并过已知点的圆。

阿波罗尼斯小故事

    阿波罗尼斯被公以为『最巨大的几许学家』。关于阿波罗尼斯的生平事迹记载并不多,但他的作品对数学的开展的确具有非常严重的影响,特别是他那本介绍了许多名词(例如:抛物线、椭圆、双曲线)的有名的作品Conics。

在古希腊,阿波罗尼斯是一个常被咱们运用的姓名,咱们千万不要把数学家阿波罗尼斯(Apollonius of Perga)与其他的希腊学者阿波罗尼斯搞混了,例如:Apollonius of Rhodes是一为希腊的的诗人与文法家;Apollonius of Tralles是一位希腊的雕刻家,而Apollonius of Tyre则是为文学家等等。由于在古希腊年代,阿波罗尼斯但是个咱们都喜爱取的姓名。

数学家阿波罗尼斯出世在今世文明的中心——Perga(古代小亚细亚南岸区域),也便是坐落今日的土耳其的方位。当他仍是个少年时,阿波罗尼斯前去亚历山卓(埃及北部海港城市),并在欧几里得(西元前300年 Alexandria 的数学家)门下肄业,后来也在那边从事教学作业。仅有关于阿波罗尼斯生平的描绘,咱们能够在他的作品Conics的前语中被找到,在书中前语里,咱们得知阿波罗尼斯有个儿子也叫做阿波罗尼斯。Conics共有八册,但在希腊文版别中只要前四册被保存下来,但是阿拉伯文版别的Conics的前七册均被保留了下来。

阿波罗尼斯亦是位运用数学办法研讨相关天文学(即运用几许的模型去解说星球理论)的重要创始人,也是许多运用的发明人,例如他发明晰hemicyclium,即一个表面上有着时刻线的圆锥形的日晷,这个日晷带给其时的计时作业有更大的精确度

相关材料

 

 《圆锥曲线论》是一部经典巨作,它能够说是代表了希腊几许的最高水平,自此今后,希腊几许便没有实质性的前进。直到17世纪的B.帕斯卡和R.笛卡儿才有新的打破 。《圆锥曲线论》共8卷, 前4卷的希腊文本和其次 3卷的阿拉伯文本保存了下来,最终一卷丢失。此书集前人之大成,且提出许多新的性质。他推行了梅内克缪斯(公元前4 世纪,最早系统研讨圆锥曲线的希腊数学家)的办法,证明三种圆锥曲线都能够由同一个圆锥体截取而得,并给出抛物线、椭圆、双曲线、正焦弦等称号。书中已有坐标制思维。他以圆锥体底面直径作为横坐标,过极点的垂线作为纵坐标,这给后世坐标几许的树立以很大的启示。他在解说太阳系内5大行星的运动时, 提出了本轮均轮偏疼模型,为托勒密的地心说供给了东西。

  阿波罗尼奥斯是佩尔格(Perga或Perge)当地的人.古代黑海与地中海之间的区域,称为安纳托利亚(Anatolia,今属土耳其),其南部有古国潘菲利亚(Pamphylia),佩尔格是它的首要城市.

学习生计

  阿波罗尼奥斯年青时到亚历山大跟从欧几里得的后继者学习,那时是托勒密三世(Ptolemy Euergetes,公元前246—前221年在位)控制时期,到了托勒密四世(Ptolemy Philopator,公元前221—前205在位)年代,他在天文学研讨方面已颇有名望.

  后来他到过小亚细亚西岸的帕加马(Pergamum)王国,那里有一个大图书馆、规划仅次于亚历山大图书馆.国王阿塔罗斯一世(Attalus ⅠSoter,公元前269—前197年,前241—197年在位)除崇尚武功外,还注重文明建设.阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》从第4卷起都是呈递给阿塔罗斯的,后世学者以为便是这位国王.(见[5],p.126;[6],p.227;[4],p.595.)但存在一个疑点,他在写信给阿塔罗斯时直书其名,而没有在前面加上“国王”的称号,这是违反其时的礼仪习气的.或许有两种解说,一是他指的不是国王而是另一个同名的人,二是阿波罗尼奥斯适当放浪形骸,而这位君主确能礼贤下士,落拓不羁.

圆锥曲线论

  在帕加马还知道一位欧德莫斯(Eudemus),《圆锥曲线论》的前3卷是寄给他的.在这书的第2卷的前语中,阿波罗尼奥斯说他曾将这一卷通过他儿子交给欧德莫斯,并说假如见到菲洛尼底斯(Philonides)时,请欧德莫斯将书也给他一阅.菲洛尼底斯是阿波罗尼奥斯在以弗所(Ephesus)结识的几许学家,对圆锥曲线论颇感兴趣,阿波罗尼奥斯曾介绍过他和欧德莫斯知道.

  第3卷没有留下前语.第4卷的前语是写给阿塔罗斯的,最初说这8卷作品的前3卷是交给欧德莫斯的,现在他已逝世,我决议将其他各卷献给你,由于你巴望得到我的作品.

  由此可知阿波罗尼奥斯写此书是在晚年,至少是在儿子成年今后.又知道他到过以弗所.他的首要成便是树立了完美的圆锥曲线论,总结了前人在这方面的作业,再加上自己的研讨效果,撰成《圆锥曲线论》(Conics)8大卷,将圆锥曲线的性质收罗殆尽,简直使后人没有插足的地步.直到17世纪的B.帕斯卡(Pascal)、R.笛卡儿(Descartes),才有实质性的推动.欧托基奥斯(Euto-cius of Ascalon,约生于公元480年)在注释这部书时说其时的人称他为“大几许学家”.

  阿波罗尼奥斯常和欧几里得、阿基米德合称为亚历山大前期三大数学家.时刻约当公元前300年到前200年,这是希腊数学的全盛时期或“黄金年代”.

奉献

  《圆锥曲线论》是一部极其重要的作品.在第1卷的前语中,阿波罗尼奥斯向欧德莫斯讲述编撰的通过:“几许学家诺克拉底斯(Naucrates)来到亚历山大,鼓舞我写出这本书.我赶在他搭船脱离之前匆促完结交给他,底子没有细心琢磨.现在才有时刻逐卷修订,并分批寄给你”.

  这部书是圆锥曲线的经典作品,写作风格和欧几里得、阿基米德是一脉相承的.先建立若干界说,再由此顺次证明各个出题.推理是非常严厉的,有些性质在欧几里得《几许本来》中已得到证明,便作为已知来运用,但原文并没有标明出自《本来》何处,译著为了便于参阅,将出处补上.(比较[6]pp.280—335中的希腊原文和英译文.)后人对此颇有微词.阿基米德的列传作者乃至说阿波罗尼奥斯将阿基米德未宣布的关于圆锥曲线的效果据为己有.此说出自欧托基奥斯的记载,但他一起说这种观点是不正确的.帕波斯(Pappus)则责备阿波罗尼奥斯采用了许多前人(包含欧几里德)在这方面的作业,而从未归功于这些先驱者.当然,他在前人的基础上作出了巨大的推动,其出色的奉献也是应该必定的.

  《圆锥曲线论》的呈现,马上引起人们的注重,被公以为这方面的威望作品.帕波斯曾给它增加了许多引理,塞里纳斯(Serenus,4世纪)及许帕提娅(Hypatia)都作过注解.欧托基奥斯校订注释前4卷希腊文本.9世纪时,君士坦丁堡(东罗马帝国国都)鼓起学习希腊文明的热潮,欧托基奥斯的4卷本被转写成安色尔字体(uncial,手稿常用的一种大字体)并保存下来,不过有些当地已被篡改.

  前4卷最早由叙利亚人希姆斯(Hilāl ibn Abī Hilāl alHimsī,卒于883或884)译成阿拉伯文.第5—7卷由塔比伊本库拉 (Thābit ibn Qurra,约公元826—901年)从别的的版别译成阿拉伯文.纳西尔丁(Nasīr ad-Dīn al-Tūsi,1201—1274)第1—7卷的修订本(1248年)现有两种抄本藏于英国牛津大学博德利(Bodleian)图书馆,一种是1301年的抄本,一种是1626年第5—7卷的抄本.

译文

  第1—4卷的拉丁文译著于1537年由J.B.门努斯(Menus)在威尼斯出书.而较规范的拉丁文译著由F.科曼迪诺(Commandino,1509—1575)译出,于1566年在博洛尼亚出书.其间包含帕波斯的引理和欧托基奥斯的评注,还加上许多解说以便于研读.第5—7卷最早的拉丁译著的译者是A.埃凯伦西斯(Echellensis)及G.A.博雷利(Borelli,1608—1679),1661年出书于佛罗伦萨,是从983年阿拉伯文抄本译出的.天文学家E.哈雷(Halley,1656—1743)参阅了各种版别,从头校订了第1—7卷拉丁文本及第1—4卷希腊文本,1710年在牛津出书.

  现在威望的第1—4卷希腊文、拉丁文对照评注本是J.L.海伯格(Heiberg,1854—1928)的“Apollonii Pergaei quae Graeceexstant cum commentariis antiquis”(《佩尔格的阿波罗尼奥斯的现存希腊文作品,包含古代注释》)2卷,1891—1893在莱比锡出书.阿拉伯文本只要第5卷的一部分正式出书。并附L.尼克斯(Nix)的德译文(1889,莱比锡).现代语的译著有P.V.埃克(Eecke)的法文译著“Les coniques d'Apollonius de Perge”(《佩尔格的阿波罗尼奥斯的圆锥曲线论》),前4卷依据希腊文本,后3卷是依据哈雷的拉丁文本,1923年出书于布鲁日(Bruges),1963年重印于巴黎.T.L.希思(Heath,1861—1940)编订的英译著“Apollonius of Perga,Treatise of conic sections”(《佩尔格的阿波罗尼奥斯,圆锥曲线论》)1896年剑桥大学出书社出书,1961年重印.此书实践是意译著或改编本.另一种英译著为C.托利弗(Taliaferro)所译(1939),载于《西方名著丛书》(Great booksof the western world,1952,不列颠百科全书出书社)第11卷中,但只要1—3卷

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